القيمة المطلقة في الرياضيات
القيمة المطلقة للعدد الحقيقي : وتعرف بأنها بعد ذلك العدد بالوحدات عن الصفر على خط الأعداد ويرمز لها بالرمز ، فمثلا بعد العدد (-3 ) عن الصفر بالوحدات هو فقط 3 وحدات وبعد العدد 3 عن الصفر بالوحدات هو فقط 3 وحدات وعلى ذلك فبعد العددين { -3 ، 3 } عن الصفر هو 3 وحدات وعندها نقول ان القيمة المطلقة للعددين{ 3 ، -3 } تساوي 3 وهذا ينطبق على كل عدد حقيقي سواء كان سالب أم موجب .
مثال :- -5 = 5 ، -6 = 6 وهكذا
القيمة المطلقة كاقتران :- عندما ق( س) = س فان الاقتران سالب عندما س تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية السالبة ( ح- ) وموجبة عندما س تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ( ح +) ولكن اقتران القيمة المطلقة لا يأخذ في مداه إلا القيم الموجبة فقط فعلى ذلك فالاقتران ق(س) = س ويقرا ( اقتران القيمة المطلقة للمتغر س ) مجاله جميع الأعداد الحقيقية السالبة والموجبة ولكن
مداه فقط الأعداد الحقيقية الموجبة وبالرموز يكتب ق : ح _____ ح + .
ق(س) = س ، س ح .
ويعاد تعريف الاقتران ق(س) = س = س ، س < 0
-س ، س > 0 ويسمى ذلك إعادة تعريف للاقتران ، ويلاحظ من خلال إعادة التعريف ان الاقتران مكون من اقترانين خطيين لهما ميلين مختلفين فالاقتران ق(س1 )= س له ميل يساوي -1 ولكن الاقتران ق( س2 )= -س له ميل يساوي –1 وأن التمثيل البياني لهذا الاقتران هو خطين متعاكسين في الاتجاه حسب التمثيل التالي :-
حيث نلاحظ ان كل من الاقترانين انعكاس
للآخر في محور الصادات ويسمى
محور الصادات في هذه الأثناء
بمحور التماثل للاقتران وكذلك
نلاحظ ان إحداثيات رأس المنحنى
هي صفر الاقتران ، أي النقطة
( 0 ، 0 ) وهذا ينطبق على جميع
اقترانات القيمة المطلقة الخطية حيث
إحداثيات راس المنحنى هي ( صفر الاقتران ، ق( صفر الاقتران ) )
وفي حالة اقتران غير خطي يكون هنالك اكثر من صفر .
مثال :- اعد تعريف الاقتران ق(س ) = 2س + 3 ثم مثله بيانيا ؟؟
2س+ 3 = 2س + 3 ، 2س + 3 < 0 = 2س+3 ، 2س < -3
-(2س+3) ، 2س+3 > 0 -2س-3 ، 2س > -3
= 2س+3 ، س < -3/2
-2س –3 ، س > -3/2 ونلاحظ ان صفر الاقتران عندما س= -3/2
وأن إحداثيات رأس المنحنى ( -3/2 ، ق(-3/2 ) ) = ( -3/2 ، 0 ) وأن محور تماثل الاقتران هو الخط المستقيم س = -3/2 .
-1 -2
نتيجة :-من خلال المثال نجد ان الاقتران قد انحرف بمقدار 1.5 وحدة باتجاه الجزء السالب لمحور السينات أي بمقدار القيمة المطلقة لصفر الاقتران ، وهذا حال جميع الاقترانات التي علــــى صورة ق(س) = أ س + ب حيث ينحرف الاقتران بمقدار -ب/أ وحدة باتجاه الجزء السالب من محور السينات . وإذا كان الاقتران على صورة ق(س ) = أس – ب فان الاقتران ينحرف بمقدار القيمة المطلقة لصفر الاقتران باتجاه الجزء الموجب لمحور السينات أي بمقدار القيمة المطلقة للمقدار ( ب/أ)
ملاحظات حول القيمة المطلقة :-
الملاحظة الأولى : أي عدد خارج القيمة المطلقة يؤثر فقط على مدى الاقتران وليس على مجاله كما يؤثر في التمثيل البياني للاقتران فان العدد الموجب المجموع للقيمة المطلقة مثل " ق( س) = أ + س يرفع التمثيل البياني للاقتران بمقدار للأعلى بمقدار القيمة المطلقة للعدد أ على محور الصادات الموجب وإذا كان العدد سالب مثل ق(س)= س - أ ينزل التمثيل البياني للاقتران للأسفل بمقدار القيمة للعدد أ على الجزء السالب من محور الصادات .كما أن أي إشارة سالبة خارج إشارة القيمة المطلقة مثـــل ق(س) = - س تؤثر على اقتران القيمة المطلقة وخاصة التمثيل البياني حيث ينعكس الشعاعان للأسفل انطلاقا من صفر الاقتران إذا كان خطيا وإذا كانت الإشارة السالبة داخل اقتران القيمة المطلقة لا تؤثر على الاقتران مثل ق(س) = - س
أمثلة محلولة :
ق(س) = س ق(س) = - س
ق(س) = 1+ س ق(س) = س - 1
1
ق(س) = -2+ س ق(س)= - 2- س
ملاحظة : يعتبر اقتران القيمة المطلقة ليس اقتران واحد لواحد ويمكن التأكد من ذلك باستعمال اختبار الخط الأفقي الذي يمر بأكثر من نقطة واحدة .
مثال محلول : مثل الاقتران ق(س) = 3 + 2س –1 بيانيا ؟
الحل :_ نلاحظ من خلال المثال أن صفر الاقتران عندما س = ½ وأن اقتران القيمة المطلقة على صورة ق(س) = أ س – ب أي ان الاقتران في التمثيل ينحرف إلى اليمين على محور السينات الموجب بمقدار ½ وحدة ويكون تمثيله البياني بالصورة :-
ولكن العدد 3 لانه موجب يرفع التمثيل لبياني الى اعلى باتجاه محور الصادات الموجب بمقدار 3 وحدات ويصبح التمثيل البياني للاقتران كاملا كالتالي :-
الملاحظة الثانية : القيمة المطلقة للاقتران التربيعي ق( س) = أ س2 + ب س + جـ وهنا يجب مراعاة العديد من الحاجات قبل اعادة تعريف الاقتران ومنها :
1- بحث اشارة الاقتران التربيعي لمعرفة اين هو موجب واين هو سالب لتحديد قيم المجال بدقة لمراعاتها عند اعادة التعريف .
2- مراعاة ان أي جزء من المنحنى في التمثيل البياني يقع تحت محور السينات يجب عكسه الى اعلى بحيث يصبح محور السينات مراة عاكسة وفي هذا المقام تتغير فقط اشارة قيم المدى لكافة النقاط التي تقع تحت محور السينات ولكن قيم المجال تبقى كما هي مثال على ذلك " نفرض أن الاقتران ق( س) = س2 - 5 وان النقطة ( 1 ، -4 ) تحقق الاقتران وعندما نأخذ القيمة المطلقة للاقتران ق( س) = س2 - 5 فان النقطة تصبح ( 1 ، 4 ) .
3- مراعاة وجود إشارة سالبة خارج اقتران القيمة المطلقة .
مثال : اعد تعريف الاقتران ق(س) = س2 -5س +6 ثم مثله بيانيا ؟
الحل : نأخذ الاقتران ق(س) = س2 -5س +6 ونساويه بالصفر لتحليل المعادلة وبحث الإشارة
س2 -5س +6 = ( س-3 ) ( س-2 ) ومنها س= 3 أو س=2
ومن خلال بحث الإشارة نجد أن إعادة تعريف الاقتران :-
ق(س) = س2 -5س +6 = س2 -5س +6 ، س < 3 أو س > 2
-(س2 -5س +6) ، 2 > س > 3
والتمثيل البياني للاقتران :-
الملاحظة الثالثة : متباينات تحتوي قيمة مطلقة " القيمة المطلقة للعدد الحقيقي "
عند تحليل أو حساب مجموعة حل متباينة تحتوي قيمة مطلقة يجب مراعاة خواص علاقة الترتيب على الأعداد الحقيقية وهناك ثلاث خواص أساسية للقيمة المطلقة للعدد الحقيقي وهي :-
أولا : س = أ وتحلل إلى إما س= أ أو س = - أ ومجموعة حلها س= { أ ، - أ } وهي القاعدة الوحيد التي مجموعة حلها مجموعة من بين الخواص الثلاث .
ثانيا : س ≥ أ وتحلل إلى - أ ≥ س ≥ -أ حيث مجوعة الحل عبارة عن فترة وهي س [ - أ ، أ ] وإذا كانت الإشارة اقل بدون يساوي تبقى العبارة صحيحة ولكن مجموعة الحل تكون فترتها مفتوحة وليست مغلقة .
ثالثأ : س ≤ أ وتحلل إلى إما س ≤ أ أو س ≥ - أ حيث مجموعة الحل لها عبارة عن اتحاد فترتين الأولى اكبر من أ وهي [ أ ، ) والثانية اصغر من - أ وهي ( - ، - أ ] وأطراف الفترة من جانب العدد الحقيقي مغلقة بسبب اليساوي وإذا كانت المتباينة بدون يساوي يكون طرف الفترة مفتوحا وعلى ذلك فمجموعة الحل تكتب بالصورة س ([ أ ، ) ( - ، - أ ] ) .
أمثلة محلولة : أوجد مجموعة حل المتباينات التالية :-
1 ) س- 2 = 2 ، 2 ) س-2 ≥ 2 ، 3 ) س-2 ≤ 2
1) س- 2 = 2 إما س-2 = 2 أو س-2 = -2 ومنها
س= 4 أو س= صفر
مجموعة الحل س = { 4 ، صفر }
2 ) س-2 ≥ 2 إما -2 ≥ س-2 ≥ 2 بجمع المقدار 2 لكافة الأطراف
صفر ≥ س ≥ 4
مجموعة الحل س [ 0 ، 4 ]
3 ) س -2 ≤ 2 إما س -2 ≤ 2 أو س - 2 ≥ -2 ومنها
بجمع 2 للطرفين في المتباينتين
س≤ 4 أو س ≥ 0
مجموعة الحل س ( [ 4 ، ) ( - ، 0 ] )
انتهت بحمد الله تعالى
إعداد المعلم : نادي عامر نصار
المصدر
هل لأحدكم مساعدتي ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
