الاحتمالات والإحصاء
الاحتمالات دراسة رياضية لمدى احتمال وقوع حدث ما. ويستخدم لتحديد فرص إمكانياة وقوع حادث غير مؤكد الحدوث. فمثلاً, باستخدام الاحتمالات يمكن حساب فرص ظهور وجه القطعة في ثلاث رميت لقطع نقدية. أما الإحصاء فهو ذلك الفرع من الرياضيات الذي يهتم بجمع البيانات وتحليلها لمعرفة الأنماط والاتجاهات العامة. ويعتمد الإحصاء إلى حد كبير على الاحتمالات. وتزود الطرق الإحصائية الحكومات, والتجارة, والعلوم بالمعلومات. فمثلاً, يستخدم الفيزيائيون الإحصاء لدراسة سلوك العديد من الجزيئيات في عينة من الغاز.
نظريَّة المجموعات
نَظَرِيَّة المَجمُوعات: طريقة لحل مسائل الرياضيات والمنطق (أو الاستنباط). ودراستنا لنظرية المجموعات تزيد فهمنا لعلم الحساب وللرياضيات ككل. وتبحث نظرية المجموعات في صفات وعلاقات المجموعات.
وتعد نظرية المجموعات من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات. والمجموعة تجمُّع من الأشياء المحسوسة أو الأفكار. فمثلاً كل صنف هو مجموعة من الأشياء المحسوسة، بينما مواد الدستور هي مجموعة من الأفكار. وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. يستخدم علماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. والمجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين ؟؟.
ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض.
أنواع المجموعات:
وهناك عشرة أنواع رئيسية من المجموعات هي:
1 ـ المجموعات المنتهية 2 ـ المجموعات غير المنتهية.
3 ـ المجموعات الخالية 4 ـ المجموعات وحيدة العنصر.
5 ـ المجموعات المتكافئة 6 ـ المجموعات المتساوية.
7 ـ المجموعات المتداخلية 8 ـ المجموعات المنفصلة.
9 ـ المجموعات الشاملة 10 ـ المجموعات الجزئية.
المجموعات المنتهية: هي التي لها عدد محدود من العناصر.
المجموعات غير المنتهية: هي التي يكون عدد عناصرها غير محدود.
المجموعات الخالية: هي التي لا تحتحوي على أي عناصر.
المجموعات وحيدة العنصر: هي التي تحوي عنصراً واحداً فقط.
المجموعات المتكافئة: هي المجموعات التي لها نفس العدد من العناصر.
المجموعات المتساوية: هي التي لها نفس العناصر.
المجموعات المتداخلة: هي التي لها عناصر مشتركة فيما بينها.
المجموعات المنفصلة: هي التي لا تحتوي على أي عناصر مشتركة فيما بينها.
المجموعات الشاملة: هي المجموعات التي تحتوي على جميع العناصر تحت الاختبار في وقت ومسألة معينين.
المجموعات الجزئية: هي المتضمَّنة في مجموعات أخرى.
العمليات على المجموعات هناك ثلاث عمليات أساسية تستخدم في حل المسائل المتعلقة بالمجموعات:
1 ـ الاتحاد 2 ـ التقاطع 3 ـ المُتمِّمة.
اتحاد مجموعتين: هو المجموعة التي تتألف عناصرها من عناصر كلتا المجموعتين.
تقاطع مجموعتين: هو المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين.
مُتمِّمة مجموعة: هي مجموعة العناصر في س التي لا توجد في المجموعة ص.
فإذا كانت ص أي مجموعة جزئية من س فإن متممة صَ ص هي عناصر س التي لا توجد في ص.
لغةُ الأعدَاد
(1) ـ أنواع الأعداد ثلاثة: الحقيقيّة، الخاليّة، والمركّبة. يمكن تمثيل الأعداد الحقيقيّة.
(أ) بنقاط على خط يمتد من اللانهاية السالبة حتى اللانهاية الموجبة. وهي تتضمّن جميع الأعداد الموجبة والسالبة. الأعداد الخياليّة.
(ب) تعتمد على خ، وهو الجذر التربيعي للعدد ـ 1، وقد تكون أيضاً موجبة أو سالبة. تحتوي الأعداد المركّبة.
(ت) على جزء حقيقي وجزء خيالي. ويمكن تصويرها كنقاط محدّدة ببعدها عن خطّي الأعداد الحقيقيّة والأعداد الخياليّة. مثلاً: النقطة ف تمثّل العدد المركّب 4+ 3 خ، ق تمثّل ـ 3 ـ 5 خ. الأرقام المركّبة شائعة الاستعمال لدى العلماء.
الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة:
تُسمّى الأعداد الصحيحة مثل 1 و5 و212 صحيحة موجبة. وقد استعملت منذ أن بدأ الإنسان يعدّ. في القرون الوسطى ابتكر الهنود مفهوم الأعداد الصحيحة السالبة، وذلك للتعبير عن الديون في العمليّات التجاريّة.
اكتشف الرياضيون الهنود الصفر الذي يستعمل اليوم للدلالة على غياب العدد.
قام الرياضي الاغريقي ارخميدس (287 ـ 212 ق. م.) بدراسة مسألة وجود اعداد لامتناهية في الكبر.
فبرهن انّه لا حدّاً أعلى لنظام الأعداد، وان اللانهاية، بعكس الصفر، ليست عدداً، وانّه مهما بلغ كبر عدد ما، فهناك اعداد أكبر منه.
بمفهوميّ الصفر واللانهاية اكتمل لدى الإنسان نظام للأغداد يمكن تصويره بخطّ يحوي جميع الأعداد الحقيقية ممتداً منم اللانهاية السالبة إلى اللانهاية الموجبة. ثم جاء رياضيّون ايطاليّون في القرن السادس عشر وابتكروا كميّة «خياليّة» (خ) يعطي مربّعها النتيجة ـ 1. الأعداد التي تدخل فيها خ تُسمّى اعداداً خياليّة.
قواعِد الأعدَاد
العمليات الحسابية الرئيسية الأربع هي الجمع والطرح والضرب والقسمة.
يقوم الجمع على مبدأ الترابط، إذ يمكن اجراء جمع مجموعة أعداد بأي ترتيب دون أن تتغير النتيجة.
1+ 2+ 3= 6
أو
3+ 2+ 1= 6
أو
2+ 3+ 1= 6
يمكن تكرار عملية الطرح حسب أي ترتيب كان.
9- 3- 4= 2
9- 4- 3= 2
النتيجة هي واحدة في كلتا الحالتين.
الضرب عملية متكافئة مع عملية الجمع المتكرر. فكتابة: 7×5 مثلاً هي اختزال لكتابة: 7+ 7+ 7+ 7+ 7. يتعلم الناس جداول الضرب، لأنها أكثر سرعة من جمع أعمدة الأعداد. ليس باستطاعة الحاسبات الالكترونية والكومبيوتر القيام بعملية الضرب، رغم اشتهارها بالسرعة والدقة؛ وكل ما تقوم به إنما هو فقط اجراء عمليات جمع متتالية فائقة السرعة.
كما أن الطرح هو عكس الجمع، كذلك القسمة فهي عكس الضرب، أي كناية عن عمليات طرح متكررة.